Teoria probabilității. Probabilitatea evenimentului, evenimente aleatorii (teoria probabilității). Evenimente independente și incompatibile în teoria probabilităților

Este puțin probabil ca mulți oameni să se gândească dacă este posibil să se calculeze evenimente care sunt într-o anumită măsură accidentale. În termeni simpli, este într-adevăr posibil să știți care parte a cubului în zaruri

generație

Dacă încercați să definiți un astfel de concept ca teoria probabilității, vom obține următoarele: aceasta este una dintre ramurile matematicii care studiază constanța evenimente aleatoare. În mod evident, acest concept într-adevăr nu dezvăluie esența, deci trebuie să-l ia în considerare mai detaliat.

Aș vrea să încep cu fondatorii teoriei. După cum sa menționat mai sus, au existat două dintre ele Pierre Fermat și Blaise Pascal. Ei au fost printre primii care au folosit formulele și calculele matematice pentru a calcula rezultatul unui eveniment. În general, începutul acestei științe sa manifestat în Evul Mediu. În acel moment, diverși gânditori și oameni de știință au încercat să analizeze jocurile de noroc, cum ar fi ruleta, oasele și așa mai departe, stabilind astfel regularitatea și raportul procentual al căderii unui anumit număr. Fundația a fost pusă în secolul al XVII-lea tocmai de oamenii de știință menționați mai sus.

La început, lucrările lor nu puteau fi atribuite marilor realizări din acest domeniu, deoarece tot ceea ce au făcut au fost pur și simplu fapte empirice, iar experimentele au fost vizualizate fără folosirea formulelor. De-a lungul timpului, s-au dovedit a obține rezultate excelente, care au apărut datorită observării aruncării oaselor. Acest instrument a ajutat la scoaterea la iveală a primelor formule distincte.

Oamenii cu aceeași minte

Este imposibil să nu menționăm o persoană precum Christian Huygens, în procesul de studiere a temei numite "teoria probabilității" (probabilitatea evenimentului este acoperită de această știință). Această persoană este foarte interesantă. El, precum și oamenii de știință prezentați mai sus, au încercat să deducă legile evenimentelor aleatorii sub formă de formule matematice. Este demn de remarcat faptul că nu a făcut acest lucru împreună cu Pascal și Fermat, adică toate lucrările sale nu s-au suprapus cu aceste minți. Huygens a dedus conceptele de bază ale teoriei probabilității.

Este interesant faptul că opera sa a fost publicată cu mult înainte de rezultatele lucrărilor descoperitorilor, sau mai degrabă, cu douăzeci de ani mai devreme. Printre conceptele desemnate, cele mai renumite sunt:

• conceptul de probabilitate ca magnitudinea unei șanse;
• așteptările matematice pentru cazurile discrete;
• teoremele de multiplicare și de adăugare a probabilităților.

De asemenea, este imposibil să nu ne amintim pe Jakob Bernoulli, care a contribuit, de asemenea, la studierea problemei. Conducătorul său, nimeni în încercări independente, a putut să prezinte o dovadă a legii unui număr mare. La rândul lor, oamenii de știință din Poisson și Laplace, care au lucrat la începutul secolului al XIX-lea, au putut demonstra teoremele originale. În acest moment, teoria probabilității a fost utilizată pentru a analiza erorile în timpul observațiilor. Oamenii de știință ruși, sau mai degrabă Markov, Chebyșev și Diapunov, nu au reușit nici să ocolească această știință. Ei, pe baza muncii efectuate de marii geniali, au fixat acest subiect ca o secțiune a matematicii. Aceste cifre au funcționat la sfârșitul secolului al XIX-lea și datorită contribuției lor, fenomene precum:

• legea numărului mare;
• teoria lanțurilor Markov;
• teoremă limită centrală.

Deci, cu istoria nașterii științei și cu principalele persoane care au influențat-o, totul este mai mult sau mai puțin clar. Acum e momentul să concretizezi toate faptele.

Concepte de bază

Înainte de a atinge legi și teoreme, merită studiat conceptele de bază ale teoriei probabilității. Evenimentul din acesta ocupă un rol dominant. Acest subiect este destul de voluminos, dar fără el nu veți putea înțelege totul.

Evenimentul din teoria probabilității este orice set de rezultate ale experimentului realizat. Nu există atât de multe noțiuni despre acest fenomen. Deci, omul de știință Lotman, care lucrează în acest domeniu, a spus că în acest caz este vorba despre ce sa întâmplat ", deși nu s-ar putea întâmpla".

Evenimente aleatorii (teoria probabilității le acordă o atenție deosebită) este un concept care implică absolut orice fenomen care poate apărea. Sau, dimpotrivă, acest scenariu nu se poate întâmpla când sunt îndeplinite multe condiții. De asemenea, merită remarcat faptul că evenimentele aleatorii captează întregul volum de evenimente care au avut loc. Teoria probabilității indică faptul că toate condițiile pot fi repetate tot timpul. A fost comportamentul lor numit "experiență" sau "test".

Un anumit eveniment este un fenomen care se va întâmpla complet în acest proces. În consecință, un eveniment imposibil este ceva care nu se întâmplă.

Combinarea unei perechi de acțiuni (cazul A și cazul B) este un fenomen care apare simultan. Acestea sunt denumite AB.

Suma perechilor de evenimente A și B este C, cu alte cuvinte, dacă cel puțin unul dintre ele are loc (A sau B), atunci rezultatul este C. Formula pentru fenomenul descris este scrisă ca: C = A + B.

Evenimentele inconsistente din teoria probabilităților implică faptul că două cazuri se exclud reciproc. În același timp, acestea nu se pot întâmpla în niciun caz. Evenimentele comune în teoria probabilităților sunt antipodul lor. Aici se înțelege că dacă A sa întâmplat, acesta nu împiedică V.

Opusul evenimentelor (teoria probabilității le tratează în detaliu) este ușor de înțeles. Cel mai bine este să le rezolvi în comparație. Ele sunt aproape identice cu evenimentele incompatibile din teoria probabilităților. Dar diferența lor constă în faptul că ar trebui să apară unul dintre numeroasele fenomene.

Evenimente la fel de posibile sunt acele acțiuni a căror repetabilitate este egală. Pentru a fi mai clară, vă puteți imagina aruncând o monedă: căderea uneia dintre laturi este la fel de probabilă căderea unei alte monede.

Un eveniment favorabil este mai ușor de luat în considerare cu un exemplu. Să presupunem că există un episod B și un episod A. Primul este o rolă de zaruri cu un număr impar, iar al doilea este apariția numărului cinci pe cub. Apoi se dovedește că A este favorabil pentru B.

Evenimentele independente din teoria probabilității sunt proiectate doar în două sau mai multe cazuri și implică independența oricărei acțiuni de la cealaltă. De exemplu, A - coborârea cozilor în timp ce aruncați o monedă și B - obținerea unui cric de pe o punte. Ele sunt evenimente independente în teoria probabilităților. În acest moment a devenit mai clar.

Evenimentele dependente în teoria probabilităților sunt de asemenea admise doar pentru setul lor. Înseamnă dependența unuia de celălalt, adică fenomenul B poate apărea numai dacă A a avut deja loc sau, invers, nu sa întâmplat, când aceasta este principala condiție pentru V.

Rezultatul unui experiment aleatoriu constând dintr-o componentă este evenimentele elementare. Teoria probabilității explică faptul că acesta este un fenomen care a apărut o singură dată.

Formulele de bază

Astfel, conceptele "eveniment", "teoria probabilităților" au fost considerate mai sus, a fost dată și o definiție a termenilor de bază ai acestei științe. Acum este timpul să vă familiarizați direct cu formule importante. Aceste expresii confirmă matematic toate conceptele principale într-un subiect atât de dificil precum teoria probabilității. Probabilitatea evenimentului joacă un rol important aici.

Este mai bine să începeți cu formulele de bază ale combinatoricii. Și înainte de a trece la ele, merită să luați în considerare ceea ce este.

Combinatorică - este în primul rând o ramură a matematicii, el a studiat un număr foarte mare de numere întregi, și diverse permutări ale ambelor numere și elementele lor, diverse date, etc., ceea ce conduce la un număr de combinații ... În plus față de teoria probabilității, această industrie este importantă pentru statistici, informatică și criptografie.

Deci, acum puteți trece la reprezentarea formulelor în sine și a definiției lor.

Prima dintre acestea va fi o expresie a numărului de permutări, arată astfel:

P_n = n sdot- (n-1) sdot- (n-2) hellip-3 sdot- 2 sdot-1 = n!

Ecuația este utilizată numai dacă ele diferă numai în ordinea localizării lor.

Acum vom lua în considerare formula de plasare, se arată astfel:

A_n ^ m = n sdot- (n-1) sdot- (n-2) sdot- ... sdot- (n-m + l) = n! : (n-m)!

Această expresie este aplicabilă nu numai ordinii de plasare a elementului, ci și compoziției sale.

A treia ecuație a combinatoricii, și aceasta este cea din urmă, se numește formula pentru numărul de combinații:

C_n ^ m = n! : (((n-m))! : m!

O combinație este o probă care nu este ordonată, respectiv, iar această regulă se aplică acestora.

C formule combinatoriale Sa dovedit a fi ușor de înțeles, acum putem trece la definiția clasică a probabilităților. Această expresie arată astfel:

P (A) = m: n.

În această formulă, m este numărul de condiții care favorizează evenimentul A, iar n este numărul absolut tuturor rezultatelor la fel de posibile și elementare.

Există o mulțime de expresii, articolul nu va acoperi totul, dar cele mai importante vor fi afectate, cum ar fi probabilitatea sumelor de evenimente:

P (A + B) = P (A) + P (B) - această teoremă pentru adăugarea numai a evenimentelor incompatibile;

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - aceasta este compatibilă doar pentru adăugare.

Probabilitatea evenimentului:

P (A sdot-B) = P (A) sdot-P (B) - această teoremă pentru evenimente independente;

(P (A sdot-B) = P (A) sdot-P (B | A) -P (A sdot-B) = P (A) sdot-P (A | B)) - și aceasta pentru dependență.

Terminați lista formulelor de evenimente. Teoria probabilității ne spune despre teorema lui Beyes, care arată astfel:

P (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): (suma -_ (k = 1) ^ n P (H_k) P (A | H_k)), m = 1, ... , n

În această formulă, H₁, H₂, hellip-, H_n Este un set complet de ipoteze.

Vom analiza exemplele de aplicare a formulelor de rezolvare a problemelor specifice din practică.

exemple

Dacă studiați cu atenție orice secțiune a matematicii, aceasta nu se face fără exerciții și soluții eșantion. Astfel, teoria probabilității: evenimentele, exemplele de aici sunt o componentă integrală, confirmând calculele științifice.

Formula pentru numărul de permutări

Să presupunem că există 30 de cărți într-un pachet de cărți, începând cu valoarea nominală unu. Următoarea întrebare. Cât de multe moduri există pentru a plia puntea, astfel încât cardurile cu valorile nominale ale unuia și ale doi să nu fie situate una lângă alta?

Sarcina este stabilită, acum să trecem la soluția sa. Mai întâi trebuie să determinați numărul de permutări ale celor treizeci de elemente, pentru aceasta luăm formula de mai sus, obținem P_30 = 30!

Pe baza acestei reguli, știm cât de multe opțiuni există pentru a stabili puntea în multe feluri, dar noi trebuie să fie deduse din ele sunt cele în care prima și a doua carte va fi următoarea. Pentru a face acest lucru, începem cu opțiunea, când prima este deasupra celei de-a doua. Se pare că prima hartă poate dura douăzeci și nouă de locuri - de la prima la douăzeci și nouă, iar a doua carte de la al doilea la al treizeci, apoi douăzeci și nouă de locuri pentru perechi de cărți. La rândul său, restul poate lua douăzeci și opt de locuri, și în orice ordine. Aceasta este, pentru rearanjarea douăzeci și opt de cărți au douăzeci și opt de opțiuni P_28 = 28!

În final, se pare că, dacă luăm în considerare soluția, atunci când prima carte este peste cea de-a doua, vor apărea oportunități suplimentare 29 sdot- 28! = 29!

Folosind aceeași metodă, trebuie să calculați numărul de opțiuni redundante pentru cazul în care prima carte este sub cea de-a doua. Se pare, de asemenea, 29 sdot- 28! = 29!

Rezultă că opțiunile suplimentare 2 sdot-29 !, în timp ce modalitățile necesare pentru a colecta o punte de 30! - 2 sdot-29! Ramane doar sa numeri.

30! = 29! sdot-30- 30! - 2 sdot- 29! = 29! sdot- (30-2) = 29! sdot- 28

Acum trebuie să înmulțim toate numerele de la unu la douăzeci și nouă, după care noi înmulțim totul cu 28. Avem răspunsul de la 2,4757335 sdot- 〖10〗 ^ 32

Soluția exemplului. Formula pentru numărul de destinații de plasare

În această sarcină este necesar să aflăm câte modalități există pentru a pune cincisprezece volume pe un singur raft, dar cu condiția să fie treizeci de volume în totalitate.

În această problemă, soluția este ușor mai simplă decât cea precedentă. Folosind formula deja cunoscută, este necesar să se calculeze numărul total de aranjamente de la treizeci de volume la cincisprezece.

A_30 ^ 15 = 30 sdot- 29 sdot-28sdot -... sdot- (30 - 15 + 1) = 30 sdot- 29 sdot- 28 sdot- ... sdot-16 = 202,843,204,931,727,360,000

Răspunsul va fi de 202 843 204 931 727 360 000.

Acum să luăm sarcina puțin mai complicată. Este necesar să aflăm câte modalități există pentru a plasa treizeci de cărți pe două rafturi, cu condiția ca doar cincisprezece volume să poată fi pe un singur raft.

Înainte de începerea deciziei ar dori să clarifice faptul că unele dintre problemele pot fi rezolvate în mai multe moduri, iar în acest există două moduri, dar se aplică atât în ​​una și aceeași formulă.

În această sarcină, putem lua răspunsul celui precedent, deoarece acolo am calculat de câte ori este posibilă umplerea raftului pentru cincisprezece cărți în moduri diferite. Sa constatat că A_30 ^ 15 = 30 sdot- 29 sdot- 28 sdot- ... sdot- (30 - 15 + 1) = 30 sdot- 29 sdot- 28 sdot- ... sdot- 16.

Al doilea raft va fi calculat în funcție de formula de permutare, deoarece în el sunt plasate cincisprezece cărți, în timp ce rămân doar cincisprezece cărți. Folosim formula P_15 = 15!

Se pare că suma va fi A ^ 30 ^ 15 moduri P_15 sdot-, dar, în plus, produsul tuturor numerelor de la treizeci-șaisprezece ar fi înmulțită cu produsul dintre numerele de la unu-cincisprezece, în cele din urmă se dovedesc produsul din toate numerele de la unu la treizeci, adică, răspunsul este 30!

Dar această sarcină poate fi rezolvată într-un mod diferit - este mai ușor. Pentru aceasta vă puteți imagina că există un regiment pentru treizeci de cărți. Toate acestea sunt plasate pe acest plan, ci pentru că condiția impune ca existau două rafturi, una lungă am ferăstraie mecanice în jumătate, două rotații cincisprezece. Din aceasta se dovedește că variantele aranjamentului pot fi P_30 = 30!

Soluția exemplului. Formula pentru numărul combinației

Acum vom analiza o variantă a celei de-a treia probleme din combinatorice. Este necesar să aflăm câte modalități există pentru a aranja cincisprezece cărți, cu condiția să fie necesar să alegeți dintre cei treizeci de absolut identici.

Pentru soluție, desigur, se va aplica formula pentru numărul de combinații. Din această condiție devine clar că ordinea cărților identice de cincisprezece nu este importantă. Prin urmare, inițial este necesar să se determine numărul total de combinații de la treizeci de cărți la cincisprezece.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155 117 520

Asta e tot. Folosind această formulă, în cel mai scurt timp a fost posibilă rezolvarea unei astfel de probleme, răspunsul fiind, respectiv, 155 117 520.

Soluția exemplului. Definiția clasică a probabilității

Folosind formula de mai sus, puteți găsi răspunsul într-o sarcină simplă. Dar acest lucru va ajuta vizual pentru a vedea și urma cursul de acțiune.

În această problemă se dă că există zece bile absolut identice în urnă. Dintre acestea, patru sunt galbene și șase sunt albastre. O minge este luată din urnă. Trebuie să știți probabilitatea de a deveni albastru.

Pentru a rezolva problema, este necesar să se desemneze obținerea mingii albastre de către evenimentul A. Această experiență poate avea zece rezultate, care, la rândul lor, sunt elementare și la fel de posibile. În același timp, din zece zece șase sunt favorabile pentru evenimentul A. Se decide în funcție de formula:

P (A) = 6: 10 = 0,6

Aplicând această formulă, am aflat că abilitatea de a obține mingea albastră este de 0,6.

Soluția exemplului. Probabilitatea sumei evenimentelor

Acum va fi prezentată o variantă, care este rezolvată folosind formula probabilității pentru suma evenimentelor. Deci, având în vedere condiția că există două cazuri, primul este de cinci bile albe și gri, în timp ce al doilea - opt gri și patru bile albe. Ca rezultat, una dintre ele a fost luată din primul și al doilea cutie. Este necesar să aflăm care este șansa ca bilele primite să fie gri și alb.

Pentru a rezolva această problemă, este necesar să desemnați evenimente.

• Deci, A - a luat mingea gri din primul sertar: P (A) = 1/6.
• Arsquo- - a luat și bila albă din primul sertar: P (A `) = 5/6.
• B - extrage bilele gri din a doua cutie: P (B) = 2/3.
• Vrsquo- - a luat mingea gri din cea de-a doua cutie: P (B `) = 1/3.

Prin condiția problemei, este necesar ca unul dintre fenomene să se întâmple: Abrsquo- sau Arsquo-B. Folosind formula, obținem: P (AB `) = 1/18, P (A`B) = 10/18.

Acum sa folosit formula pentru multiplicarea probabilității. Mai mult, pentru a afla răspunsul, este necesar să se aplice ecuația de adăugare a acestora:

P = P (AB `+ A`B) = P (AB`) + P (A`B) = 11/18.

Deci, folosind formula, puteți rezolva probleme similare.

Rezultatul

Articolul prezintă informații despre teoria probabilității, probabilitatea unui eveniment în care joacă un rol crucial. Desigur, nu totul a fost luat în considerare, dar, pe baza textului prezentat, teoretic te poți familiariza cu această secțiune de matematică. Această știință poate fi utilă nu numai în practica profesională, ci și în viața de zi cu zi. Cu ajutorul acestuia puteți calcula orice posibilitate de eveniment.

Textul a atins, de asemenea, date importante în istoria apariției teoriei probabilității ca știință și numele persoanelor ale căror lucrări au fost investite în ea. Așa a dus curiozitatea umană la faptul că oamenii au învățat să numere chiar și evenimente aleatorii. Odată ce tocmai au devenit interesați de el, dar astăzi toată lumea știe despre asta. Și nimeni nu va spune ce ne așteaptă în viitor, ce alte descoperiri strălucite legate de teoria în cauză vor fi angajate. Dar un lucru este sigur - cercetarea pe loc nu merită!