Cercul Euler. Cercurile Euler - exemple în logică

Leonhard Euler (1707-1783) - celebru matematician elvețian și rusă, un membru al Academiei de Științe St. Petersburg, cea mai mare parte a vieții în Rusia. Cel mai faimos în analiza matematică,

John Venn (1834-1923) - filosof și logician engleză, co-autor al diagramelor Euler-Venn.

Concepte compatibile și incompatibile

Prin concept în logică se înțelege o formă de gândire care reflectă atributele esențiale ale unei clase de obiecte omogene. Acestea sunt denotate de unul sau de un grup de cuvinte: "harta lumii", "quintuptakkordul dominant", "luni" etc.

În cazul în care elementele volumului unui concept apar integral sau parțial volumului celeilalte, ele vorbesc despre concepte compatibile. Dacă nici un element al volumului unui anumit concept nu face parte din volumul celuilalt, avem un loc cu concepte incompatibile.

La rândul lor, fiecare dintre tipurile de concepte are un set propriu de posibile relații. Pentru concepte compatibile aceasta este următoarea:

• identitatea (echivalența) volumelor;
• intersecție (coincidență parțială) a volumelor;
• subordonare (subordonare).

Pentru incompatibilitate:

• subordonarea (coordonarea);
• Contrast (contrast);
• contradicție (kontradiktornost).

Schematic, relația dintre concepte în logică este de obicei indicată de cercurile lui Euler-Venn.

Relații de echivalență

În acest caz, conceptele înseamnă același lucru. În consecință, volumele acestor concepte coincid complet. De exemplu:

A - Sigmund Freud;

B - fondatorul psihanalizei.

fie:

A este un pătrat;

B este un dreptunghi echilateral;

C este un romb conformal.

Pentru desemnare, se folosesc cercurile Euler care coincid complet.

Intersecție (coincidență parțială)

Această categorie include concepte care au elemente comune care se referă la traversare. Adică, volumul unuia dintre concepte este inclus în parte în scopul altui:

A - profesorul;

B este un iubitor de muzică.

După cum se vede din acest exemplu, volumul de concepte se suprapun: profesori anumit grup poate fi iubitori de muzică, și vice-versa - printre fanii muzicii pot fi reprezentanți ai profesiei didactice. O relație similară se va întâmpla și în cazul în care ca concept A acționa, de exemplu, "orășenii", și B - "șoferul".

Depunerea (subordonare)

Schematic indicate ca fiind diferite în cercurile Euler. Relațiile dintre concepte în acest caz sunt caracterizate de faptul că conceptul subordonat (mai mic în volum) este pe deplin parte din subordonat (mai mare în volum). În același timp, conceptul subordonat nu epuizează pe deplin subordonații.

De exemplu:

A este un copac;

B - pin.

Conceptul va fi subordonat conceptului A. Deoarece pin se aplică copaci, termenul A devine subordonând în acest exemplu, „absorbind“, volumul conceptului V.

Subordonarea (coordonarea)

Relația caracterizează două sau mai multe concepte care se exclud reciproc, dar aparțin unui anumit cerc generic comun. De exemplu:

A - clarinet;

B - chitara;

C - vioară;

D este un instrument muzical.

Conceptele A, B, C nu se intersectează, totuși, toate aparțin categoriei instrumentelor muzicale (conceptul D).

Contrast (Contrast)

Relațiile opuse între concepte implică atribuirea acestor concepte aceluiași gen. În acest caz, unul dintre concepte are anumite proprietăți (atribute), în timp ce celălalt le leagă, înlocuind opusul în caracter. Astfel, avem de-a face cu antonime. De exemplu:

A - piticul;

B - gigantul.

Euler cerc la relația inversă dintre termenii este împărțit în trei segmente, dintre care prima corespunde conceptului A, al doilea - în conceptul, iar al treilea - restul conceptelor posibile.

Controversa (kontradiktornost)

În acest caz, ambele concepte sunt specii de același gen. Ca și în exemplul precedent, unul dintre concepte indică anumite calități (atribute), în timp ce celălalt le dezminte. Cu toate acestea, în contrast cu atitudinea opusă, al doilea, conceptul opus, nu un substitut pentru proprietate a negat o altă alternativă. De exemplu:

A este o problemă complicată;

B este o sarcină simplă (nu-A).

Exprimând domeniul de aplicare al conceptelor de acest fel, cercul Euler este împărțit în două părți - a treia legătură intermediară în acest caz nu există. Astfel, conceptele sunt și antonime. În acest caz, unul dintre ele (A) devine pozitivă (de aprobare orice indicație) și a doua (B sau A) - negativ (nega semnul corespunzător), „Cartea albă“ - „nu este o hârtie albă“, „istoria națională“ - "istoria străină" etc.

Astfel, raportul volumelor de concepte în raport unul cu celălalt este caracteristica cheie care determină cercurile Euler.

Relațiile dintre seturi

Trebuie, de asemenea, să facem distincția între conceptele de elemente și seturi ale căror volume hartă cercuri Euler. Noțiunea de set este împrumutată de la știința matematică și are un sens destul de larg. Exemplele din logică și matematică îl afișează ca o colecție de obiecte. Obiectele în sine sunt elemente ale unui set dat. "Mulți sunt mulți, imaginați ca unul" (Georg Kantor, fondator al teoriei seturilor).

Notatia seturilor este realizata cu majuscule: A, B, C, Dhellip- etc., elemente de seturi - litere mici: ... A, b, c, dhellip-și etc. Exemple ale multitudinii de elevi pot fi situate în aceeași clasă, cărți, în picioare pe un anumit raft (sau, de exemplu, toate cărțile dintr-o anumită bibliotecă), paginile din jurnal, fructe de padure într-o poiana de pădure etc.

La rândul său, dacă un anumit set nu conține elemente, se numește gol și este notat cu semnul Ø. De exemplu, setul de puncte de intersecție paralele drepte, setul de soluții ale ecuației x² = -5.

Rezolvarea problemelor

Pentru a rezolva un număr mare de probleme, cercurile Euler sunt utilizate în mod activ. Exemplele din logică demonstrează în mod clar relația operații logice cu teoria seturilor. În acest caz, se folosesc tabele cu adevăruri ale conceptelor. De exemplu, cercul marcat cu numele A este o zonă de adevăr. Astfel, regiunea din afara cercului va fi o minciună. Pentru a determina zona diagramei pentru operația logică ar trebui să fie eclozat regiuni care definesc diagrama Euler în care valorile sale pentru elementele A și B sunt adevărate.

Utilizarea cercurilor Euler a găsit o aplicație practică largă în diferite ramuri. De exemplu, într-o situație cu o alegere profesională. Dacă subiectul este preocupat de alegerea unei profesii viitoare, el poate fi ghidat de următoarele criterii:

W - ce îmi place să fac?

D - ce fac?

P - cum pot face bani buni?

Să imaginăm acest lucru sub forma unei diagrame: Euler cercuri (exemple în logică - raportul intersecției):

Rezultatul va fi acele profesii care vor fi la intersecția tuturor celor trei cercuri.

Un loc separat Euler-Venn cercuri ocupă în matematică (teoria seturilor) atunci când se calculează combinații și proprietăți. Cercurile Euler ale setului de elemente sunt închise în imaginea dreptunghiului care denotă setul universal (U). În loc de cercuri, se pot folosi și alte figuri închise, dar esența acestui lucru nu se schimbă. Cifrele se intersectează reciproc, în funcție de condițiile problemei (în cel mai general caz). De asemenea, aceste cifre ar trebui marcate corespunzător. Ca elemente ale seturilor luate în considerare, punctele situate în diferite segmente ale diagramei pot acționa. Pe baza ei, este posibilă umbrirea unor zone specifice, ceea ce denotă seturi nou formate.

Cu aceste seturi este posibilă efectuarea operațiilor matematice de bază: adunarea (suma seturilor de elemente), scăderea (diferența), multiplicarea (produsul). În plus, datorită diagramelor Euler-Venn, este posibil să se efectueze operații de comparare a mulțimilor cu numărul de elemente incluse în ele, fără a le număra.