Ecuația planului: cum să compun? Tipuri de ecuații plane

În spațiu, un plan poate fi definit în moduri diferite (un punct și un vector, două puncte și un vector, trei puncte etc.). În acest sens, ecuația avionului poate avea diferite tipuri. De asemenea, dacă sunt îndeplinite anumite condiții, planurile pot fi paralele, perpendiculare, se intersectează etc. Despre acest lucru și vorbiți în acest articol. Vom învăța cum să facem o ecuație generală a avionului și nu numai.

Forma normală a ecuației

Să presupunem că există un spațiu R₃, care are un sistem de coordonate dreptunghiular XYZ. Setați vectorul alfa, care va fi eliberat din punctul inițial O. Prin capătul vectorului Să desenați planul Π, care va fi perpendicular pe el.

Denumim prin P un punct arbitrar Q = (x, y, z). Semnăm vectorul de radius al punctului Q cu litera p. Lungimea vectorului alfa- este egal cu p = Ialpha-I și Ʋ = (cosalpha-, cosbeta-, cosgamma-).

Acesta este un vector de unitate care este direcționat spre lateral, ca vectorul alfa-. alfa-, beta- și gamma - sunt unghiurile formate între vectorul Ʋ și direcțiile pozitive ale axelor spațiului x, y, z. Proiecția unui anumit punct QεP pe vectorul Ʋ este o constantă egală cu p: (p, Ʋ) = p (pge-0).

Ecuația de mai sus este semnificativă atunci când p = 0. Avionul numai P în acest caz, va traversa punctul O (alfa- = 0), care este originea și Ʋ vectorul unitate, eliberat din punctul O va fi perpendiculară P, deși direcția sa, ceea ce înseamnă că vectorul este determinat Ʋ până la un semn. Ecuația anterioară este planul nostru P, exprimat în formă vectorială. Dar, având în vedere coordonatele sale este:

P este mai mare sau egal cu 0. Am găsit ecuația plan în formă normală.

Ecuația generală

Dacă ecuația în coordonate este înmulțită cu orice număr care nu este egal cu zero, obținem o ecuație echivalentă cu cea dată, care determină același plan. Acesta va arata astfel:

Aici A, B, C sunt numere care sunt simultan nonzero. Această ecuație este menționată ca ecuația unui plan de formă generală.

Ecuații de avioane. Cazuri speciale

Ecuația în formă generală poate fi modificată în condițiile unor condiții suplimentare. Să luăm în considerare câteva dintre ele.

Să presupunem că coeficientul A este 0. Aceasta înseamnă că planul dat este paralel cu axa dată Ox. În acest caz, forma ecuației se va schimba: Boo + Cz + D = 0.

În mod similar, forma ecuației se va schimba în următoarele condiții:

• Mai întâi, dacă B = 0, atunci ecuația se va schimba la Ax + Cz + D = 0, ceea ce va fi o dovadă a paralelismului cu axa Oy.
• În al doilea rând, dacă C = 0, atunci ecuația este transformată în Ax + Boo + D = 0, ceea ce va vorbi despre paralelism cu axa dată Oz.
• În al treilea rând, dacă D = 0, ecuația va arăta ca Ax + Boo + Cz = 0, ceea ce înseamnă că planul intersectează O (originea).
• În al patrulea rând, dacă A = B = 0, atunci ecuația se va schimba la Cz + D = 0, ceea ce se va dovedi paralel cu Oxy.
• În al cincilea rând, dacă B = C = 0, atunci ecuația devine Ax + D = 0, ceea ce înseamnă că planul către Oyz este paralel.
• În al șaselea rând, dacă A = C = 0, atunci ecuația va lua forma Boo + D = 0, adică va raporta paralel cu Oxz.

Tip de ecuație în segmente

În cazul în care numerele A, B, C, D diferite de zero, sub forma ecuației (0) poate fi după cum urmează:

x / a + y / b + z / c = 1,

în care a = -D / A, b = -D / B, c = -D / C

Ca rezultat, obținem ecuația planului în segmente. Trebuie remarcat faptul că acest plan se va intersecta axa x la punctul cu coordonatele (a, 0,0), Oy - (0, b, 0) și Oz - (0,0, s).

Având în vedere ecuația x / a + y / b + z / c = 1, nu este dificil să vizualizăm vizual aranjamentul planului relativ la un sistem de coordonate dat.

Coordonatele vectorului normal

Vectorul normal n la planul Π are coordonate care sunt coeficienții ecuației generale a planului dat, adică, n (A, B, C).

Pentru a determina coordonatele normalei n, este suficientă cunoașterea ecuației generale a planului dat.

Când se utilizează ecuația în segmente, care are forma x / a + y / b + z / c = 1, atunci când se utilizează ecuația generală poate fi scrisă coordonatele oricărui vector obișnuit un plan dat: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

Merită menționat faptul că un vector normal ajută la rezolvarea unei varietăți de sarcini. Cele mai frecvente probleme includ problema de a dovedi perpendicularitatea sau paralelismul planelor, problema de a găsi unghiuri între planuri sau unghiuri între planuri și linii.

Forma ecuației planului în funcție de coordonatele punctului și vectorul normal

Un vector nenulos n perpendicular pe un plan dat se numește normal (normal) pentru un anumit plan.

Să presupunem că în spațiul de coordonate (sistemul de coordonate dreptunghiulare) Oxyz sunt date:

• Punctul Mₒ cu coordonate (xₒ, yₒ, zₒ);
• vectorul zero este n = A * i + B * j + C * k.

Trebuie să faci ecuația planului care trece prin punctul Mₒ perpendicular pe n normal.

În spațiul vom alege orice punct arbitrar și reprezintă M (x, y, z). Lăsați vectorul raza fiecărui punct M (x, y, z) va fi r = x * i + y * j + z * k, și vectorul raza unui punct Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ * j + zₒ * k. Punctul M va aparține unui anumit plan, în cazul în care MₒM vectorul să fie perpendicular pe vectorul n. Scriem starea ortogonalitate folosind produsul scalar:

[MₒM, n] = 0.

Din moment ce MₒM = r-rₒ, ecuația vectorului planului va arăta astfel:

[r - r, n] = 0.

Această ecuație poate avea, de asemenea, o altă formă. În acest scop, proprietățile produsului scalar și convertit în partea stângă a ecuației. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. Dacă [rₒ, n] notate cu, obținem următoarea ecuație: [r, n] - a = 0 sau [r, n] = s, care exprimă constanța proiecțiile privind vectorul normal al razei de vectorii punctele date care aparțin avionul.

Acum puteți obține coordonatei planul de înregistrare de tip ecuației vector [r - rₒ, n] = 0. Deoarece r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * k și n = A * i + B * j + C * k, avem:

Se pare că avem ecuația este formată planul care trece prin punctul perpendicular n normală:

A * (x - x ₒ) + B * (y - y ₒ) C * (z - z ₒ) = 0.

Forma ecuației plane în conformitate cu coordonatele a două puncte și un vector, planul colinear

Definim două puncte arbitrare M `(x`, y `, z`) și M "(x", y ", z"), precum și vectorul a (a `, a`, a).

Acum putem scrie ecuația predeterminate plan care trece prin punctul M existent „și M“, iar fiecare punct cu coordonatele M (x, y, z) este paralel cu un anumit vector.

Astfel, vectorii M`M {x-X`-y-y`-z-z `}, și M` = {x M `y - h` "-u`-z" -Z "} ar trebui să fie coplanare cu vectorul a = (a `, a ", a), iar acest lucru înseamnă că (M`M, M" M, a) = 0.

Deci, ecuația noastră de avion în spațiu va arăta astfel:

Forma ecuației unui plan care se intersectează cu trei puncte

Să presupunem că avem trei puncte: (x `y`, z `), (x`, y `z`), (x ‴ ‴ Have, z ‴), care nu fac parte din aceeași linie. Este necesar să se scrie ecuația planului care trece prin cele trei puncte date. Teoria geometriei afirmă că un astfel de plan există într-adevăr, dar numai el este unic și irepetabil. Deoarece acest plan intersectează punctul (x `, y`, z `), forma ecuației sale va fi după cum urmează:

Aici A, B, C sunt ambele nenumărate. De asemenea, planul dat intersectează încă două puncte: (x ", y", z ") și (x ‴, y ‴, z ‴). În acest sens, trebuie îndeplinite astfel de condiții:

Acum putem construi un sistem omogen ecuații (liniar) cu necunoscute u, v, w:

În cazul nostru, x, y sau z este un punct arbitrar care satisface ecuația (1). Luând în considerare ecuația (1) și un sistem de ecuații (2) și (3), sistemul de ecuații indicate în figura de mai sus, satisface vector N (A, B, C), care este trivial. De aceea determinantul acestui sistem este zero.

Ecuația (1) pe care le-am luat, acest lucru este ecuația planului. 3 puncte ea într-adevăr merge, și este ușor de verificat. Pentru a face acest lucru, vom extinde determinantul de elementele din primul rând. Dintre proprietățile existente determinante rezultă că planul nostru intersectează simultan trei punctul predeterminat inițial (x `y`, z „), (x " y", z„), (x ‴, y ‴, z ‴). Așa că am decis să sarcina în fața noastră.

Unghiul cu două fețe între planuri

Colțul cu două laturi reprezintă o figură geometrică spațială formată din două jumătăți de planuri care provin de la o linie dreaptă. Cu alte cuvinte, aceasta face parte din spațiul care se limitează la aceste semi-avioane.

Să presupunem că avem două planuri cu următoarele ecuații:

Știm că vectorul N = (A, B, C) și Nsup1 - = (Asup1-, Vsup1-, Ssup1-) conform planurilor predeterminate sunt perpendiculare. În acest sens, unghiul phi- între vectorii N și Nsup1- este egal cu unghiul (față-verso) care se află între aceste planuri. Produsul scalar are forma:

NNsup1- = | N || Nsup1- | cos phi-,

tocmai pentru că

cosphi- = NNsup1- / | N || Nsup1- | = (+ AAsup1- VVsup1- SSsup1 + -) / ((radic- (A² + V² + s²)) * (radic- (Asup1-) ² + (Vsup1- ) ² + (Ssup1-) ²)).

Este suficient să se ia în considerare faptul că 0le-phi-le-pi-.

De fapt, două planuri care se intersectează formează două unghiuri (două fețe): phi-₁ și phi-₂. Suma lor este pi- (phi-₁+ phi-₂= PI-). În ceea ce privește cosinusele lor, valorile lor absolute sunt egale, dar ele diferă în semn, adică cos phi-₁= -cos phi-₂. Dacă în ecuația (0) se înlocuiește cu A, B și C din -A, -B și -C, respectiv, ecuația, obținem, va determina în același plan, singurul unghi phi în ecuația cos phi- = NN¹/ | N || N¹| | va fi înlocuit cu pi-phi-.

Ecuația planului perpendicular

Perpendicular sunt planurile între care unghiul este de 90 de grade. Folosind materialul prezentat mai sus, găsim ecuația unui plan perpendicular pe celălalt. Să presupunem că avem două planuri: Ax + By + Cz + D = 0 și Asup1-x + y + Vsup1-Ssup1-z + D = 0. Putem afirma că vor fi perpendiculare dacă cosphi = 0. Aceasta înseamnă că NNsup1- = AAsup1- + BBsup1- + CCsup1- = 0.

Ecuația unui plan paralel

Paralele sunt două planuri care nu conțin puncte comune.

condiție paralelismul planurilor (ecuațiile lor sunt aceleași ca în paragraful precedent) este că vectorii N și Nsup1-, care sunt perpendiculați pe ei, sunt coliniari. Și aceasta înseamnă că sunt îndeplinite următoarele condiții de proporționalitate:

A / Asup1- = B / Bsup1- = C / Csup1-.

Dacă condițiile de proporționalitate sunt lărgite - A / Asup1- = B / Bsup1- = C / Csup1- = DDsup1-,

acest lucru indică faptul că aceste avioane coincid. Aceasta înseamnă că ecuațiile Ax + Boo + Cz + D = 0 și Asup1-x + Bsup1-y + Csup1-z + Dsup1- = 0 descriu un plan.

Distanta fata de avion de la punct

Să presupunem că avem un plan Π, care este dat de ecuația (0). Este necesar să găsim înaintea lui distanța de la punctul cu coordonatele (xₒ, yₒ, zₒ) = Qₒ. Pentru a face acest lucru, trebuie să reducem ecuația planului Π în forma normală:

(rho, v) = p (pge-0).

În acest caz rho- (x, y, z) este vectorul raza punctului Q noastre, situat n p - n este lungimea perpendicularei, care a fost eliberat din punctul zero, v - este vectorul unitate, care este poziționat în direcția unei.

diferență rho-rho-ordm este vectorul radius al oricărui punct Q = (x, y, z) aparținând II și, de asemenea, vectorul de rază al punctului dat Q₀= (xₒ, yₒ, zₒ) este un vector a cărui proiecție absolută pe v este egală cu distanța d care trebuie găsită de la Q₀= (xₒ, yₒ, zₒ) la Π:

D = | (rho-rho-⁰,v), dar

(Rho - rho-⁰,v) = (rho, v) - (rho-⁰,v) = p- (rho-⁰,v).

Deci, se pare,

d = | (rho-⁰,v) -p |.

Acum se vede că se calculează distanța d de la Q₀ până la planul Π, trebuie să folosim forma normală a ecuației planului, transferându-l în partea stângă a p și înlocuindu-l (xₒ, yₒ, z în loc) în loc de x, y, z.

Astfel, găsim valoarea absolută a expresiei rezultate, adică d.

Folosind limbajul de parametru, vom obține clar:

d = | Axg + Vuₒ + Cz | | / radic- (А2 + В2 + С2).

Dacă punctul dat Q₀ este situat pe cealaltă parte a planului II, ca și originea, apoi între vector rho - rho-⁰ și v este localizat unghiul obtuz, Prin urmare:

d = - (rho-rho-⁰,v) = (rho-⁰,v) -p> 0.

În cazul în care punctul Q₀ împreună cu originea coordonatelor este situată pe aceeași parte a lui II, atunci unghiul creat este ascuțit, adică:

d = (rho-rho-⁰,v) = p- (rho-⁰, v)> 0.

Ca rezultat, se pare că în primul caz (rho-⁰,v)> p, în al doilea (rho-⁰,v)

Planul tangent și ecuația lui

Planul tangent la suprafață în punctul de contact Mordm - este un plan care conține toate tangentele posibile ale curbelor trase prin acest punct de pe suprafață.

Cu această formă a ecuației de suprafață F (x, y, z) = 0, ecuația planului tangent la punctul tangent al Mordm- (xordm-, uordm-, zordm-) va arăta astfel:

F_x(xordm-, уordm-, zordm-) (х-хорд -) + F_x(hordm-, уordm-, zordm-) (у-уordm -) + F_x(xordm-, uordm-, zordm-) (z-zordm -) = 0.

Dacă setăm suprafața în forma explicită z = f (x, y), atunci planul tangent va fi descris de ecuația:

z-zordm- = f (xordm-, uordm-) (x-hordm-) + f (hordm-, uordm-) (y -ordm-).

Intersecția a două planuri

În spațiu tridimensional Este un sistem de coordonate (dreptunghiular) Oxyz, având în vedere două planuri P „și P“, care se suprapun și nu coincid. Deoarece orice plan, care este într-un dreptunghiular sistem de coordonate definit de ecuația generală, presupunem că n „și n„sunt definite de ecuațiile A`x + V`u S`z + + D“= 0 și A" + B x `+ y Cu "z + D" = 0. In acest caz avem n normal `(A`, B `C`) din planul P `și n normal "(A", B "C") din planul P`. Ca planul nostru nu sunt paralele și nu coincid, atunci acești vectori nu sunt coliniar. Folosind limba de matematică, putem scrie această condiție după cum urmează: n`ne- n " harr- (A `, B`, C `) ne- (lambda- * A ", lambda- * B", lambda- * C "), lambda-εR. Fie linia care se afla la intersectia lui P `si Π "sa fie notata cu litera a, caz in care a = Π` cap-P ".

a este o linie care constă din mulțimea tuturor punctelor avioanelor (comune) II și II. Aceasta înseamnă că coordonatele oricărui punct aparținând liniei a, trebuie să îndeplinească simultan ecuația A`x + V`u S`z + + D `= 0 și A „x + B` + C y" z + D "= 0. Prin urmare, coordonatele punctului vor fi o soluție particulară a următorului sistem de ecuații:

Rezultatul este că soluția (totală) a acestui sistem de ecuații va determina coordonatele fiecăruia dintre punctele de pe linia care va acționa ca punct de intersecție P „și P“, și de a determina o linie într-un sistem de coordonate Oxyz spațiu (dreptunghiular).