Pendulul matematic: perioadă, accelerație și formule

Sistemul mecanic care constă dintr-un punct material (corp), care atârnă pe un filament inextensibil imponderabilă (masa sa este neglijabilă în raport cu greutatea corpului) într-un câmp gravitațional uniform, numit pendulul matematic (un alt nume - oscilator). Există și alte tipuri de acest dispozitiv. În loc de un fir, se poate folosi o tijă fără greutate. Pendulul poate dezvălui în mod clar esența multor fenomene interesante. Cu o mică amplitudine de vibrație, mișcarea sa se numește armonică.

Informații generale despre sistemul mecanic

Formula pentru perioada de oscilație a acestui pendul a fost derivată de la omul de știință olandez Huygens (1629-1695). Acest contemporan al lui I. Newton era foarte îndrăgit de acest sistem mecanic. În 1656, el a creat primul ceas cu un mecanism pendul. Ei au măsurat timpul cu o precizie excepțională pentru acele vremuri. Această invenție a devenit o etapă importantă în dezvoltarea experimentelor fizice și a activităților practice.

Dacă pendulul se află în poziția de echilibru (agățat vertical), atunci gravitate va fi echilibrat de tensiunea firului. Un pendul plat pe un fir inextensibil este un sistem cu două grade de libertate cu o legătură. Când se schimbă o singură componentă, caracteristicile tuturor părților sale se schimbă. Deci, dacă firul este înlocuit cu o tijă, atunci acest sistem mecanic va avea doar un grad de libertate. Care sunt proprietățile unui pendul matematic? Chaosul apare în acest sistem cel mai simplu sub influența perturbării periodice. În cazul în care punctul de suspensie nu se mișcă, ci oscilează, apare o nouă poziție de echilibru la pendul. Cu fluctuații rapide în sus și în jos acest sistem mecanic dobândește o poziție stabilă "cu capul în jos". De asemenea, are propriul nume. Se numește pendulul lui Kapitza.

Proprietățile pendulului

Pendulul matematic are proprietăți foarte interesante. Toate acestea sunt confirmate de legi fizice cunoscute. Perioada de oscilație a pendulului orice alt depinde de diverse circumstanțe, cum ar fi mărimea și forma corpului, distanța dintre punctul de suspensie și centrul de greutate, distribuția greutății în ceea ce privește acest punct. De aceea, determinarea perioadei corpului agățat este o provocare. Este mult mai ușor să se calculeze perioada unui pendul matematic, a cărui formulă va fi dată mai jos. Ca urmare a observațiilor unor astfel de sisteme mecanice, este posibil să se stabilească astfel de regularități:

• În cazul în care, menținând în același timp aceeași lungime a pendulului, suspendat dintr-o varietate de sarcini, perioada de oscilație a obține același lucru, cu toate că greutatea lor va varia foarte mult. În consecință, perioada unui astfel de pendul nu depinde de masa încărcăturii.

• În cazul în care sistemul începe să scadă în pendulului nu este prea mare, dar unghiuri diferite, acesta va fluctua cu aceeași perioadă, dar la amplitudini diferite. În timp ce abateri de la centrul de echilibru nu este fluctuații prea mari în forma lor va fi destul de aproape armonic. Perioada unui astfel de pendul nu depinde de amplitudinea vibrațională. Această proprietate a sistemului mecanic se numește isochronism (în „Chronos“ greacă - timp „Izosov“ - egal).

Perioada de pendul matematic

Acest indicator este o perioadă de oscilații naturale. În ciuda formulării complicate, procesul în sine este foarte simplu. Dacă lungimea unui fir al unui pendul matematic L și accelerația gravitației g, atunci această valoare este egală cu:

T = 2pi-radic-L / g

Perioada de mici oscilații naturale nu depinde de nici o măsură asupra masei pendulului și a amplitudinii oscilațiilor. În acest caz, pendulul se mișcă ca un pendul matematic cu lungimea dată.

Fluctuația unui pendul matematic

Pendulul matematic oscilează, care poate fi descris printr-o ecuație diferențială simplă:

x + omega-2 sin x = 0,

unde x (t) este o funcție necunoscută (acesta este unghiul de abatere de la cea mai mică poziție de echilibru la momentul t, exprimat în radiani) omega- este o constantă pozitivă, determinată de parametrii pendulului (omega- = radic-g / L, unde g este accelerația gravitației și L este lungimea pendulului matematic (suspensie).

Ecuația oscilațiilor mici în apropierea poziției de echilibru (ecuația armonică) arată astfel:

x + omega-2 sin x = 0

Miscarea oscilantă a pendulului

Un pendul matematic, care face oscilații mici, se mișcă de-a lungul unui sinusoid. Ecuația diferențială de ordinul doi îndeplinește toate cerințele și parametrii unei astfel de mișcări. Pentru a determina traiectoria, trebuie să specificați viteza și coordonatele, de la care se determină apoi constantele independente:

x = un păcat (theta-₀ + omega-t),

unde theta₀ - faza inițială, A - amplitudinea vibrațiilor, omega- este frecvența ciclică determinată de ecuația de mișcare.

Pendulul matematic (formule pentru amplitudini mari)

Acest sistem mecanic, care oscilează cu o amplitudine semnificativă, se supune legilor mai complexe ale mișcării. Pentru un astfel de pendul, ele sunt calculate prin formula:

sin x / 2 = u * sn (omega-t / u),

unde sn este sinusul Jacobi, care pentru u < 1 este o funcție periodică, iar pentru mic u coincide cu un sinus trigonometric simplu. Valoarea lui u este determinată de următoarea expresie:

u = (epsilon- + omega-2) / 2omega-2,

unde epsilon- = E / mL2 (mL2 este energia pendulului).

Determinarea perioadei de oscilație a unui pendul neliniar se efectuează conform formulei:

T = 2pi- / Omega-,

unde Omega- = pi / 2 * omega- / 2K (u), K este un integral eliptic, PI- - 3.14.

Mișcarea pendulului de-a lungul separatricei

O separatrix este traiectoria unui sistem dinamic cu un spațiu de fază bidimensional. Pendulul matematic se mișcă de-a lungul acestuia periodic. La un punct infinit de departe, el cade din poziția superioară superioară spre lateral la viteza zero, apoi o prelucrează treptat. În cele din urmă, se oprește, revenind la poziția inițială.

Dacă amplitudinea oscilațiilor pendulului se apropie de număr PI-, acest lucru indică faptul că mișcarea de pe planul de fază se apropie de separatrix. În acest caz, sub influența unei forțe periodice mici de forță, sistemul mecanic prezintă comportament haotic.

Când pendulul matematic se abate de la poziția de echilibru cu un unghi phi- există o tangență de gravitate Ftau- = -mg păcat phi-. Semnul minus înseamnă că această componentă tangențială este îndreptată spre partea opusă față de abaterea pendulului. Dacă x reprezintă deplasările pendulului de-a lungul unui arc de cerc cu raza L, deplasarea lui unghiulară este egală cu phi- = x / L. A doua lege Isaac Newton, destinat proiecțiilor vectorului de accelerație și forței, va da valoarea dorită:

mg tau- = Ftau- = -mg sin x / L

Pe baza acestui raport, este clar că pendulul este un sistem neliniar, ca o forță care tinde să revină la poziția sa de echilibru, nu este întotdeauna proporțională cu deplasarea x, un sin x / L.

Numai atunci când pendulul matematic efectuează oscilații mici, este un oscilator armonic. Cu alte cuvinte, devine un sistem mecanic capabil să realizeze oscilații armonice. Această aproximare este practic valabilă pentru unghiuri de 15-20 °. Oscilațiile unui pendul cu amplitudini mari nu sunt armonice.

Legea lui Newton pentru oscilații mici ale unui pendul

Dacă acest sistem mecanic efectuează mici fluctuații, Legea a doua a lui Newton va arăta astfel:

mg tau- = Ftau- = -m * g / L * x.

Continuând de aici, putem concluziona că accelerația tangențială a unui pendul matematic este proporțională cu deplasarea sa cu semnul minus. Aceasta este condiția prin care sistemul devine oscilator armonic. Modulul de proporționalitate între deplasare și accelerare este egal cu pătratul frecvenței circulare:

omega-02 = g / L- omega-0 = radic-g / L.

Această formulă reflectă frecvența naturală a oscilațiilor mici ale acestui tip de pendul. Continuând de aici,

T = 2pi- / omega-0 = 2pi-radic-g / L.

Calcule bazate pe legea conservării energiei

Proprietățile mișcărilor oscilante ale pendulului pot fi, de asemenea, descrise prin legea conservării energiei. Trebuie avut în vedere că energie potențială Pendulul în câmpul gravitațional este egal cu:

E = mgAh = mgL (1-cos alfa-) = mgL2sin2 alfa- / 2

total energie mecanică este egal cu potențialul cinetic sau maxim: Epmax = Ekmsx = E

După ce legea conservării energiei este înregistrată, luați derivația părților din dreapta și din stânga ale ecuației:

Ep + Ek = const

Deoarece derivatul constantelor este 0, atunci (Ep + Ek) `= 0. Derivatul sumei este egal cu suma derivatelor:

Ep `= (mg / L * x2 / 2)` = mg / 2L * 2x * x `= mg / L * v + Ek` = (MV2 / 2) = m / 2 (v2) „= m / 2 * 2v * v `= mv * alfa-,

Prin urmare:

Mg / L * xv + mva = v (mg / l * x + m alfa) = 0.

Plecând de la ultima formulă găsim: alfa- = - g / L * x.

Aplicarea practică a unui pendul matematic

accelerare cădere liberă variază în funcție de latitudinea geografică, deoarece densitatea crustei pământului pe întreaga planetă nu este aceeași. În cazul în care există pietre cu densitate mai mare, va fi oarecum mai mare. Accelerarea unui pendul matematic este adesea folosită pentru prospectarea geologică. Este folosit pentru a căuta diverse minerale. Doar calculul numărului de oscilații ale pendulului, puteți găsi în intestinele pământului cărbune sau minereu. Acest lucru se datorează faptului că astfel de fosile au o densitate și o masă mai mare decât roca liberă de sub ele.

Pendulul matematic a fost folosit de oameni de știință precum Socrate, Aristotel, Platon, Plutarh, Arhimede. Mulți dintre ei au crezut că acest sistem mecanic poate influența soarta și viața unei persoane. Arhimede a folosit un pendul matematic în calculele sale. În epoca noastră, mulți ocultiști și psihic folosesc acest sistem mecanic pentru a-și realiza profețiile sau pentru a căuta oameni dispăruți.

Astronomul francez cunoscut și omologul natural, K. Flammarion, a folosit și un pendul matematic pentru cercetarea sa. El a susținut că, cu ajutorul lui, a reușit să prezică descoperirea unei noi planete, apariția meteoritului Tunguska și a altor evenimente importante. În timpul celui de-al doilea război mondial, un institut de pendul specializat a funcționat în Germania (Berlin). Aceste zile, Institutul de Parapsihologie din München este implicat în studii similare. Angajații acestei instituții numesc munca lor cu pendulul "radeestezie".