Metoda simplă de iterație pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare (SLAE)

Metoda iterației simple, numită și metoda de aproximare succesivă, este un algoritm matematic pentru determinarea valorii unei cantități necunoscute prin rafinare treptată. Esența acestei metode este că, așa cum sugerează și numele, evoluția treptată de la aproximarea inițială, cele ulterioare primesc rezultate tot mai rafinate. Această metodă este folosită pentru a găsi valoarea unei variabile într-o funcție dată, precum și pentru a rezolva sisteme de ecuații, atât liniare, cât și neliniare.

Să analizăm modul în care această metodă este implementată în rezolvarea SLAE. Metoda simplă de iterație are următorul algoritm:

1. Verificarea îndeplinirii condiției de convergență în matricea originală. O teorema de convergență: dacă matricea sistemului original este diagonal dominant (adică, fiecare rând de elemente ale diagonalei principale trebuie să fie mai mare magnitudine decât suma elementelor diagonalelor laterale în valoare absolută), metoda de iteratii simple, - convergente.

2. Matricea sistemului original nu are întotdeauna o predominanță diagonală. În astfel de cazuri, sistemul poate fi convertit. Ecuațiile care îndeplinesc condițiile de convergență sunt lăsate neatinse, iar cu combinații liniare care nu satisfac satisfacția, adică înmulțiți, scădeți, adăugați ecuațiile unul la altul până când se obține rezultatul dorit.

Dacă în sistemul rezultat pe diagonala principală există coeficienți incomod, atunci la ambele părți ale unei astfel de ecuații se adaugă termeni ai formulei c_eu* x_I, semnele cărora trebuie să coincidă cu semnele elementelor diagonale.

3. Transformarea sistemului obtinut in forma normala:

x^-= beta-^-+alfa- * x^-

Acest lucru se poate face într-o serie de moduri, de exemplu, după cum urmează: de la prima ecuație expres x₁ prin alte necunoscute, de la al doilea₂, de la al treilea₃ și așa mai departe. Utilizăm următoarele formule:

alfa-_ij= - (a_ij / a_ii)

_eu= b_eu/ a_ii
Trebuie să verificăm din nou că sistemul rezultant al formei normale corespunde condiției de convergență:

suma (j = 1) | alfa-_ij| le-1, cu i = 1,2, ... n

4. Începem să aplicăm, de fapt, metoda de aproximări succesive.

x⁽⁰⁾- aproximarea inițială, exprimăm prin ea x⁽¹⁾, apoi cu x⁽¹⁾ exprimăm x⁽²⁾. Formula generală în forma matricei arată astfel:

x^(N)= beta-^-+alfa- * x^(N-1)

Calculați până când atingem precizia cerută:

max | x_eu(k) -x_eu(k + 1) ε le-

Deci, să analizăm în practică metoda de iterare simplă. exemplu:
Pentru a rezolva SLAU:

4,5x1-1,7x2 + 3,5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 cu precizie epsilon- = 10^-3

Să vedem dacă elementele diagonale predomină în modul.

Observăm că numai a treia ecuație satisface condiția de convergență. În primul și al doilea transformăm, la prima ecuație se adaugă a doua:

7,6x1 + 0,6x2 + 2,4x3 = 3

Din cea de-a treia se scade primul:

-2,7x1 + 4,2x2 + 1,2x3 = 2

Am transformat sistemul original într-unul echivalent:

7,6x1 + 0,6x2 + 2,4x3 = 3
-2,7x1 + 4,2x2 + 1,2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4

Acum reducem sistemul la forma normală:

x1 = 0,3947-0,0789x2-0,3158x3
x2 = 0,4762 + 0,6429x1-0,2857x3
x3 = 0,8511-0,383x1-0,5319x2

Verificăm convergența procesului iterativ:

0,0789 + 0,3158 = 0,3947 1 le-
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 1 le-
0,383 + 0,5319 = 0,9149 le-1, adică condiția este îndeplinită.

0.3947
Aproximarea inițială x⁽⁰⁾ = 0,4762
0.8511

Înlocuim aceste valori în ecuația formei normale, obținem următoarele valori:

0.08835
x⁽¹⁾= 0,486793
0.446639

Înlocuind noi valori, obținem:

0.215243
x⁽²⁾= 0,405396
0.558336

Continuăm calculele până când ne apropiem de valorile care satisfac condiția dată.

0.18813

x⁽⁷⁾= 0,441091

0.544319

0.188002

x⁽⁸⁾ = 0,44164

0.544428

Să verificăm corectitudinea rezultatelor:

4,5 * 0,1880 -1,7 * 0,441 + 3,5 * 0,544 = 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1,1x * 0,544 = 0,9987
1,8 * 0,1880 + 2,5 * 0,441 + 4,7 * 0,544 = 3,9977

Rezultatele obținute prin înlocuirea valorilor găsite în ecuațiile inițiale satisfac în totalitate condițiile din ecuație.

După cum vedem, metoda simplă de iterație oferă rezultate destul de precise, dar pentru a rezolva această ecuație a trebuit să petrecem mult timp și să facem multe calcule greoaie.