Metoda Gauss: exemple de soluții și cazuri speciale

Metoda lui Gauss, numită și metoda de eliminare pas cu pas a variabilelor necunoscute, este numită după distinsul cercetător german K.F. Gauss, care, în timpul vieții sale, a primit titlul neoficial de "rege al matematicii". Cu toate acestea, această metodă era cunoscută cu mult înainte de nașterea civilizației europene încă din primul secol. BC. e. oamenii de știință chinezi vechi au folosit-o în scrierile lor.

Metoda Gaussiană este o metodă clasică de rezolvare sisteme de ecuații algebrice liniare (Slough). Este ideal pentru rezolvarea rapidă a matricelor marcate.

Metoda în sine constă în două mișcări: directe și inverse. O rulare dreaptă este o turnare secvențială a SLAU într-o formă triunghiulară, adică valori de zeroare situate sub diagonala principală. Mișcarea inversă implică identificarea secvențială a valorilor variabilelor, exprimând fiecare variabilă prin cea precedentă.

Pentru a învăța cum să aplicați metoda Gauss în practică este simplă, este suficient să cunoaștem regulile elementare de multiplicare, adunare și scădere a numerelor.

Pentru a demonstra algoritmul pentru rezolvarea sistemelor liniare prin această metodă, să luăm în considerare un exemplu.

Deci, rezolvați folosind metoda Gaussiană:

x + 2y + 4z = 3
2x + 6y + 11z = 6
4x-2y-2z = -6

Trebuie să scăpăm de variabila x în a doua și a treia linie. Pentru a face acest lucru, adăugăm primul, înmulțit cu -2 și, respectiv, -4. Avem:

x + 2y + 4z = 3
2y + 3z = 0
-10y-18z = -18

Acum, multiplicați a doua linie cu 5 și adăugați-o la a treia:

x + 2y + 4z = 3
2y + 3z = 0
-3z = -18

Am adus sistemul nostru într-o vedere triunghiulară. Acum ne inversăm. Începem cu ultima linie:
-3z = -18,
z = 6.

A doua linie:
2y + 3z = 0
2y + 18 = 0
2y = -18,
y = -9

Prima linie:
x + 2y + 4z = 3
x-18 + 24 = 3
x = 18-24 + 3
x = -3

Înlocuind valorile obținute ale variabilelor din datele inițiale, suntem convinși de corectitudinea soluției.

Acest exemplu poate fi rezolvat de multe alte substituții, dar răspunsul ar trebui să fie același.

Se întâmplă că pe prima linie de conducere există elemente cu valori prea mici. Nu este înfricoșător, dar este destul de complicat. Soluția la această problemă este metoda Gauss cu alegerea elementului principal de către coloană. Esența lui constă în următoarele: în prima linie se găsește elementul maxim, coloana în care este localizată este schimbată cu coloana 1, adică elementul nostru maxim devine primul element al diagonalei principale. Apare următorul proces de calcul standard. Dacă este necesar, procedura de schimbare a coloanelor poate fi repetată.

O altă metodă Gauss modificată este metoda Jordan-Gauss.

Se folosește pentru rezolvarea SLAU pătrate, atunci când se găsește matricea inversă și rangul matricei (numărul de rânduri nenulte).

Esența acestei metode este că sistemul original se transformă într-o matrice unitară prin intermediul transformărilor cu o căutare suplimentară a valorilor variabilelor.

Algoritmul său este următorul:

1. Sistemul de ecuații este redus, ca în metoda Gauss, într-o formă triunghiulară.

2. Fiecare linie este împărțită cu un anumit număr astfel încât unitatea de pe diagonala principală să fie obținută.

3. Ultima linie se înmulțește cu un anumit număr și se scade din penultim cu un astfel de calcul pe care îl primim 0 pe diagonala principală.

4. Operația 3 se repetă succesiv pentru toate rândurile până când se formează o matrice unită.