Care sunt zerourile unei funcții și cum să le definiți?

Care sunt nivelele unei funcții? Răspunsul este destul de simplu - este un termen matematic, prin care se înțelege domeniul definiției unei funcții date, pe care valoarea ei este zero. Sunt numite și zerouri ale unei funcții rădăcinile ecuației.

exemple

Luați în considerare ecuația simplă y = x + 3. Deoarece zero a unei funcții este valoarea argumentului la care y a obținut o valoare zero, înlocuiți 0 cu partea stângă a ecuației:

0 = x + 3;

x = -3.

În acest caz, -3 este zero dorit. Pentru această funcție, există doar o rădăcină a ecuației, dar acest lucru nu este întotdeauna cazul.

Să luăm în considerare un alt exemplu:

y = x²-9.

Înlocuim 0 în partea stângă a ecuației, ca în exemplul anterior:

0 = x²-9;

-9 = x² .

Evident, în acest caz, zerourile funcției vor fi două: x = 3 și x = -3. Dacă ar exista un argument al gradului trei în ecuație, ar exista trei zerouri. Se poate concluziona simplu că numărul rădăcinilor unui polinom corespunde gradului maxim al ecuației din ecuație. Cu toate acestea, multe funcții, de exemplu y = x³ , la prima vedere contrazic această afirmație. Logica și bunul simț sugerează că această funcție are doar un zero la punctul x = 0. Dar, de fapt, există trei rădăcini, toate coincid. Dacă ecuația este rezolvată într-o formă complexă, aceasta devine evidentă. x = 0, în acest caz, rădăcină, multiplicitate 3. In exemplul anterior, sunt zerouri nu coincid, deoarece unul a avut multiplicitate.

Algoritmul de determinare

Din exemplele prezentate, puteți vedea cum puteți determina zerourile unei funcții. Algoritmul este întotdeauna același:

1. Scrieți o funcție.
2. Înlocuiți y sau f (x) = 0.
3. Rezolvați ecuația rezultată.

Complexitatea ultimului element depinde de gradul argumentului ecuației. La rezolvarea ecuațiilor de grad înalt, este deosebit de important să ne amintim că numărul rădăcinilor ecuației este egal cu puterea maximă a argumentului. Acest lucru este valabil mai ales pentru ecuațiile trigonometrice, unde împărțirea ambelor părți printr-un sinus sau cosinus duce la pierderea rădăcinilor.

Ecuațiile de un grad arbitrar sunt cel mai ușor de rezolvat prin metoda Gorner, care a fost dezvoltată special pentru găsirea zerourilor unui polinom arbitrar.

Valoarea zerourilor funcțiilor poate fi negativă sau pozitivă, reală sau situată în planul complex, unică sau multiplă. Sau rădăcinile ecuației nu pot fi. De exemplu, funcția y = 8 nu va obține o valoare zero pentru orice x, deoarece nu depinde de această variabilă.

Ecuația y = x²-16 are două rădăcini, și ambii se află în planul complex: x₁= 4i, x₂= -4є.

Greșeli comune

O greșeală comună că elevii încă nu au dat seama multe despre ceea ce este zero - se înlocuiește cu zero argument (e) și nu funcția de valoare (y). Acestea sunt cu siguranță substituite în ecuația x = 0 și pe baza acesteia se găsește y. Dar aceasta este o abordare greșită.

O altă eroare, după cum sa menționat deja, reducerea sinus sau cosinus în ecuații trigonometrice, din cauza a ceea ce este pierdut, și unul sau mai multe zerouri. Acest lucru nu înseamnă că aceste ecuații nu pot tăia nimic, doar atunci când alte calcule trebuie să ia în considerare aceste „pierdute“ factori.

Reprezentare grafică

Pentru a înțelege care sunt zerourile unei funcții, puteți utiliza programe matematice, cum ar fi Maple. În acesta, puteți desena un grafic, indicând numărul dorit de puncte și scara dorită. Punctele la care graficul intersectează axa OX sunt zerourile dorite. Aceasta este una dintre cele mai rapide căi de a găsi rădăcinile unui polinom, mai ales dacă ordinea sa este mai mare decât a treia. Deci, dacă există o nevoie de a efectua în mod regulat calcule matematice, pentru a găsi rădăcinile polinoame de puteri arbitrare, vă construi program, Maple sau un program similar este pur și simplu indispensabil pentru implementarea și verificarea calculelor.